ALTA MATEMÁTICA DAS ABELHAS GEÔMETRAS

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Assegura o escritor belga Maurice Maeterlinck (1862-1949) que as abelhas, na construção de seus alvéolos, resolvem um problema de “alta matemática”. Aqui tentamos explicar o chamado problema das abelhas, a razão da forma hexagonal do alvéolo e o caso do célebre ângulo de fechamento na cobertura rômbica do alvéolo que assombrou os matemáticos, os teólogos e os naturalistas da Europa.

Com uma única finalidade a abelha constrói os seus curiosos alvéolos: é para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. Levadas (afirmam os sábios pesquisadores) por um instinto admirável, as abelhas procuram obter para seus alvéolos uma forma que seja a mais econômica, isto é, que apresente “maior volume” ou maior capacidade, para a menor porção de material empregado.

O prisma mais econômico é o prisma hexagonal, pois é aquele que apresenta, para o mesmo gasto de material, maior volume, isto é, maior capacidade. Foi por esse motivo que as abelhas, para os seus alvéolos, adotaram a forma hexagonal.

Como são colocados, para maior economia de espaço, os alvéolos das abelhas. A parede de um alvéolo serve para outro alvéolo. Não há entre os alvéolos espaço perdido e a forma hexagonal é a mais econômica.

O problema das abelhas, porém, não está terminado.Como fechar os alvéolos para conseguir a máxima economia de material? Já nesse ponto o problema torna-se mais delicado, pois só pode ser resolvido com os recursos da Trigonometria e do Cálculo Infinitesimal (teoria dos máximos e mínimos).

A fórmula adotada pela abelha geômetra foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é formado de três losangos iguais. Com essa forma rômbica, em vez de fundo raso (plano) as abelhas, economizam um alvéolo em cada cinqüenta. Em milhões e milhões de alvéolos essa pequena economia de 1 em 50 é incalculável.

Eis como as abelhas colocam os seus alvéolos hexagonais. Esses alvéolos, para maior economia de material, são fechados por três losangos iguais. O valor constante do ângulo agudo de um losango de fechamento causou sério debate entre teólogos, naturalistas e matemáticos.

A precisão das abelhas na construção dos alvéolos

 impressiona os matemáticos e físicos

Sim, o sistema de fechamento com três losangos é o mais econômico. O físico René-Antoine Feichant de Reaumur (1683-1757) notou que, no losango de fechamento, o ângulo agudo era constante. Não variava. O fato intrigou Reaumur. Mandou buscar alvéolos na Alemanha, na Suíça, na Inglaterra, no Canadá e até na Guiana – e todos apresentavam o losango de fechamento com o mesmo ângulo.

O astrônomo francês Jean-Dominique Maraldi (1709-1788) mediu com maior precisão o tal ângulo agudo, e achou 70º32' em todos os alvéolos. O ângulo obtuso seria o suplemento e media, portanto, 109º28'. 

A constância do ângulo (70º32') em todos os alvéolos impressionou Reaumur. Algum motivo tinha a abelha para adotar aquele ângulo em todos os alvéolos. Seria, ainda, a latejar no instinto do animal, a questão de economia de material? E aquele ângulo seria o ângulo certo para o caso?

Resolveu Reaumur consultar o seu amigo e notável matemático Samuel König (1712-1757), alemão de nascimento, mas radicado na França. O problema foi proposto ao eminente algebrista nos seguintes termos:

É dado um prisma hexagonal regular. Esse prisma é fechado em uma de suas extremidades, por três losangos iguais. Pergunta-se: Qual deve ser o ângulo desse losango de modo que se obtenha, para o prisma, um volume máximo com a maior economia de material?

Convém dizer a verdade: König desconhecia as pesquisas feitas por seu amigo Reaumur, e ignorava os trabalhos de Maraldi. König jamais pensara que estaria destinado a calcular alvéolo de abelha. É claro que König, o maior matemático alemão de seu tempo, rival do célebre Maupertius, resolveu o problema do ângulo u do losango e achou: u = 70º 34'  E concluiu: “É esse o ângulo que deverá ser adotado para o prisma mais econômico.” O resultado apresentado pelo prestigioso matemático assombrou o mundo científico da França.

Ângulo calculado pelo matemático: 70º34'

Ângulo calculado pelas abelhas: 70º32'

– As abelhas erravam. Mas o erro é mínimo – diziam alguns teólogos. Erravam na construção de seus alvéolos porque obra perfeita só Deus poderia fazer! Sim, o erro no ângulo, de dois minutos, só poderá ser apreciado com aparelhos de precisão.

Os naturalistas afirmavam que o erro cometido pelas abelhas geômetras deveria resultar da natureza do material empregado. O matemático abordara a questão teórica, mas o pequenino inseto era obrigado a encarar o problema prático, problema da vida. Alguns naturalistas (não matemáticos) entraram nos debates.

– O fato – diziam os naturalistas – é que as abelhas, apontadas como geniais, erram e o esclarecido König, com seus cálculos, descobriu o erro das geômetras irracionais!

As abelhas é que estavam certas!!!

Houve, porém, um fato impressionante que modificou inteiramente a face do problema das abelhas. Um matemático inglês, Collin Mac-Laurin (1698-1746), quatro anos mais velho que König, informado do caso, resolveu entrar também na questão, isto é, abordar o problema das abelhas.

Retomou o problema, aplicou as fórmulas e resolveu com os recursos do Cálculo Diferencial. E achou que König havia errado. O ângulo do losango, para o alvéolo mais econômico, deveria medir precisamente 70º32'. Era esse o ângulo que as abelhas adotavam! A revelação de Mac-Laurin, publicada, e traduzida, causou novo escândalo no meio científico europeu. Novos debates surgiram entre os cientistas.

König, o respeitável matemático, nome consagrado pela Academia de Ciências, havia errado! A verdade estava com as abelhas.

Procedeu, porém, Mac-Laurin dentro de uma ética impecável. Declarou que seu colega König errara por ter utilizado em seus cálculos uma tábua de logaritmos que tinha um erro. Revelou Mac-Laurin qual era essa tábua e onde estava o erro, do qual resultara, para o ângulo do losango, uma pequena diferença de dois minutos.

Na construção dos alvéolos as abelhas resolvem um problema de alta
matemática.Depois da revelação de Mac-Laurin reacenderam-se, com maior
violência, os debates em torno do caso. A Ciência vinha provar que as abelhas resolviam, na construção de seus alvéolos, um problema de alta Matemática:

Calculavam o volume V do prisma em função do ângulo x do losango de fechamento (esse cálculo é complicadíssimo). Tornavam a derivada de V em relação a x (operação bastante trabalhosa) . Igualavam a zero essa derivada e resolviam a equação trigonométrica resultante.  Essa equação só podia ser resolvida com o auxilio de logaritmos,

Em relação ao índice da dificuldade desse problema podemos garantir o
seguinte:O curso de Matemática (da escola primária até o fim do científico)
feito durante 11 anos não fornece a um jovem, bastante aplicado e inteligente, recursos suficientes para que ele possa compreender e resolver o problema
das abelhas, isto é, o problema completo que as abelhas resolvem quando
constroem os seus alvéolos.

A verdade é esta. Já disse o Padre Leonel Franca, S. J. : “A realidade não se destrói; os fatos não se suprimem.”  Maeterlinck tinha razão. As abelhas resolvem um problema de alta Matemática. São geômetras e essa espantosa capacidade matemática das abelhas é um mistério para a Ciência, mistério que os sábios jamais poderão desvendar.

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