Usando ideias básicas de Geometria, é possível mostrar que as abelhas são mais inteligentes do que o que podemos imaginar. Elas simplesmente usam um resultado de Geometria Plana: a rede de figuras geométricas que cobre o maior espaço com a menor área é uma rede de hexágonos regulares!
A construção de alvéolos em colmeias é um processo fascinantemente simétrico e engenhoso.
Relembra-te que um polígono regular de n lados é uma figura geométrica fechada, em que todos os segmentos de recta do seu perímetro têm o mesmo comprimento e que os ângulos formados por entre eles são \alpha = \frac{360^{\circ}}{n}. O triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono regular, etc são os exemplos canónicos.
Que tipo de polígono esperar? Uma argumento simples para uma pergunta difícil.
Se se pensar devidamente, é fácil encontrar uma condição que limite o tipo de polígono que pode ser a solução para o problema. Ou seja, mesmo não sabendo qual polígono é o mais eficiente, é possível saber rapidamente aqueles que podem ser.
Ângulo Interno
Primeiro, calculemos o ângulo interno \alpha em função do número de lados n.
Pensa no polígono regular de n lados e fixa um vértice. Podes sempre decompor a soma total dos ângulos internos desta maneira: do vértice que escolheste, liga-o a todos os outros vértices sobre a figura. Acabaste de criar n-2 triângulos, ligaste a todos os lados n menos a 2, que são aqueles que não resultam em triângulo algum: os vértices adjacentes ao que escolheste. É um facto que cada triângulo tem sempre soma interna de ângulos de 180 graus. Então o ângulo interno de um polígono regular é simplesmente a média da soma dos ângulos dos n-2 triângulos, S.
Ou seja
.
O argumento agora é facilmente exposto: quer-se que exista um polígono regular de N lados tal que a soma dos seus ângulos internos seja exactamente o máximo : 360^{\circ}. Sendo assim, temos que impor que N \alpha = 360. Então N(\frac{180(n-2)}{n} = 360. Daqui se retira que apenas certos polígonos podem conter o ângulo total nesse vértice, visto que N= \frac{2n}{n-2} tem de ser um número natural.
Repara que esta fórmula não funciona para n=1 (ponto) nem n=2 (segmento de recta). O truque agora : As soluções desta equação são fáceis e não muitas – n=3,4,6 – qualquer natural n>6 vai resultar em N não natural. O valor n=5 (pentágono) não é solução, pois N não é natural. A razão é facilmente explicada por um diagrama. Então sabemos que, a haver uma forma perfeita de cobrir o plano, ela terá de ser forçosamente um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular.
Calculando Eficiência de Usabilidade de Área
Para saber qual é então o polígono mais eficiente, calculemos agora qual é a figura que consegue conter mais área com um círculo inscrito nela. A ideia é esta: para um círculo de raio r e para um polígono regular de lado a, que relação se pode construir entre a área do círculo A_{\circ} e a área do triângulo A_{\triangle}. Daí, constrói-se um coeficiente que dê a ideia de quão maior a área do polígono é em relação à área do círculo: \eta = \frac{A_{\circ}}{A_{\triangle}}. Assim, o menor valor encontrao de \eta dar-nos-á a solução desejada. Caso a caso:
Se N=3, a figura é um triângulo equilátero, de lado a, então usando Trigonometria, retira-se que sin(30) = \frac{R}{X} onde X é a hipotenusa do triângulo da figura. Então X=2R. Com isto em mente e usando o Teorema de Pitágoras, sabe-se que (2R)^{2} = (\frac{a}{2})^{2}+ R^{2}, o que implica que a= 2 \sqrt{3}R. Então a área do triângulo é simplesmente A_{\triangle} = 2 \frac{\frac{a}{2} 3R}{2} = 3 \sqrt{3} R^{2}. Assim, o coeficiente \eta = \frac{\pi R^{2}}{3 \sqrt{3} R^{2}} \approx 0.6045.
Para n=4, a figura é um quadrado. Então é-se facilmente calculado que R = \frac{a}{2}. Então A_{\square} = a^{2} = 4R^{2}. \eta é então \eta = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854,
Para n=6, a figura é um hexágono regular. Usando Trigonometria no triângulo formado na figura, estabelece-se que sin(30) = \frac{\frac{a}{2}}{X}, sendo X a hipotenusa. Daqui sai que X=a. Aplicando de novo o Teorema de Pitágoras, tem-se que R^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^{2}, o que força que a = \frac{2}{\sqrt{3}}R. Então a área do hexágono A = 12 \frac{R \frac{a}{2}}{2}= 2 \sqrt{3} R^{2}. Então \eta = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \approx 0.9069.
Mais ainda, tanto a área como o perímetro da figura – que corresponde a uma medida de material de construção necessário – é minimizado. Repara que o perímetro do triângulo, quadrado e hexágono é respectivamente dado por 6 \sqrt{3} R, \ 8R, \ 4 \sqrt{3} R. De novo, o mínimo!
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